1+1 fa 2, lo sanno tutti, no?
E se io ti dicessi che, in realtà, fa 3?
Tu come riusciresti a controbattere la mia affermazione?
Mi daresti dello scemo?
Non credo che l’insulto possa aiutare ad imparare.
Mi diresti che “è così e basta”?
Allora anch’io ti direi che 1+1 = 3 perché “è così e basta”.
Come fai a dimostrare il contrario adesso che te l’ho messa così?
In verità, si sta trascurando un fatto essenziale: non si riuscirà mai a dimostrare formalmente e rigorosamente alcuna proposizione senza l’approccio assiomatico, per quanto “matematicamente burocratico” esso possa sembrare.
ASSIOMIZZARE UNA TEORIA: GENERARE LE REALTA’ ASTRATTE
Sviluppare una teoria significa osservare un fenomeno e considerarne alcune proprietà, significa mappare una parte del grande villaggio della conoscenza.
Spesso di una teoria si guardano solo gli aspetti pratici: quante sono le pecore? Quanto è espanso questo campo? Come faccio a far funzionare questo macchinario?
E una volta che viene tirata fuori un’idea che risolve, per qualche motivo, il problema, la questione è finita.
Ciò spesso mi rattrista: il fascino del sapere, almeno per quanto ne so, risiede in maggiore quantità nella semplice contemplazione di ogni piccola cosa.
E piccole cose sono proprio quelle che permettono la creazione di ogni (o quasi) verità: gli assiomi.
Senza di essi, nulla è vero e nulla è falso.
Su di questi si fondano le effettive dimostrazioni, chiamati teoremi, ossia sequenze di affermazioni (frasi in cui è possibile valutare se sono vere o false) che si susseguono attraverso regole di inferenza, che non sono altro che regole con le cui è possibile passare da un numero finito di proposizioni (sinonimo di affermazioni) ad una conclusione.
Esempio:
-Ogni uomo è mortale;
-Io sono un uomo;
Perciò: -Io sono mortale.
Da considerare è anche il potere della definizione, ossia il processo di associazione di un concetto con una parola precisa, usata in continuazione in tutte le branche della conoscenza per poter anche solo interagire con i vari pensieri che la compongono.
L’idea di assioma è frequentemente definita come “verità o principio talmente evidente da non necessitare di dimostrazione”.
Ma io preferisco vederla in un altro modo: non esiste evidenza e non esiste cosa sempre vera o sempre falsa in ogni universo.
Determinare un sistema di assiomi è equivalente a presupporre l’esistenza di una realtà alternativa, che risiede in modo astratto nella tua mente o sul tuo foglio, e che possiede, e ne hai la certezza, principi di base ben definiti.
Questa realtà potrebbe essere estremamente somigliante ad una descrizione della nostra realtà concreta, ma potrebbe anche rappresentarne il perfetto opposto.
Se vuoi che qualcosa sia vero, basta semplicemente creare una realtà che soddisfa quella condizione.
Un meme che parla di come, in matematica, è sempre possibile generare nuove verità precedentemente ritenute impossibili; in particolare, viene esposta l’esistenza di i, il numero il cui quadrato è -1: fu chiamata unità immaginaria perché ritenuta priva di scopo, ma si è rivelata in realtà utile per risolvere vari problemi.
Soprattutto bisogna specificare che le realtà non sono in concordanza e quindi ognuna non può ragionare attraverso le regole che dominano sulle altre sue sorelle.
Ma una cosa è certa: è impossibile dimostrare attraverso gli assiomi di qualsiasi astrazione una corrispondenza precisa con il mondo concreto.
In altre parole, è impossibile provare la veridicità eterna ed universale dei principi fisici, o, più in generale, delle conseguenze nelle rappresentazioni apparentemente corrette della nostra realtà.
Spesso vengono infatti postulate leggi, dato che sembrano essere sempre vere, ma poi viene trovato il caso particolare che le modifica.
Un esempio è la meccanica classica studiata da Galileo e Newton, ma rielaborata da Einstein con la relatività ristretta, scoprendo che le equazioni cambiano se si considerano oggetti che si muovono a velocità prossime a quella della luce.
Chissà quante eccezioni possono essere ancora trovate…
Sempre se tutte possono essere trovate.
(Lascio un video che fornisce un esempio di dimostrazione matematica, per dare un’idea precisa di che cosa sto parlando: infinità dei numeri primi).
LA LOGICA: OVVIA, VERO?
Il primo ad ideare il concetto di assioma fu il filosofo Aristotele, che pose a fondamento della logica scientifica-dimostrativa, che considerava come unica e sempre vera, composta da ragionamenti che chiamava sillogismi, i seguenti principi
(A e B sono due generiche affermazioni;
Nota bene: ‘o’ è inclusivo, cioè se A o B è vera, allora può essere vera A, oppure B, oppure sia A che B):
-principio del terzo escluso: A o non-A è vera(non esiste una terza alternativa: è sempre vero che gioco o non gioco, che bevo o non bevo);
-principio di non contraddizione: se A è vera, allora non-A è falsa (esempio: se gioco, allora la frase “non gioco” è falsa);
-principio di identità: ogni cosa è uguale a sé stessa (A=A).
Esiste anche:
-principio di bivalenza: un’affermazione ha solo due stati di verità: vera o falsa.
Furono successivamente aggiunti:
-principio della doppia negazione: non-(non-A) = A (esempio: la frase “non è vero che non gioco” è equivalente alla frase “gioco”);
-leggi di De Morgan:
- non-(A e B) = non-A o non-B (esempio: “non è vero che gioco e bevo” è equivalente a “non gioco o non bevo”);
- non-(A o B) = non-A e non-B (esempio: “non è vero che gioco o bevo” è equivalente a “non gioco e non bevo”).
(In alcuni sistemi logici alcune di queste affermazioni sono effettivamente assiomi, ma spesso si presentano sotto forma di teoremi derivanti ciascuno dall’altro o da regole ancora più semplici)
Sembrano cose veramente scontate vero?
Forse ad eccezione delle leggi di De Morgan.
Ma così sono tutti gli assiomi, alla fine.
Eppure da questi si derivano teoremi al limite della complessità.
Queste leggi nello specifico hanno però qualcosa di particolare: si pongono come base di ogni scienza, di ogni pensiero, di ogni cosa.
Come però ho detto prima, se è possibile formulare un qualsiasi sistema assiomatico, è anche possibile formularne l’opposto.
Ed è qua che il paradiso logico aristotelico si rompe.
Sono state perciò concepite le cosiddette logiche non classiche, dove si negano uno o più principi della logica classica-aristotelica.
Ad esempio, alcuni tra gli intuizionisti, ossia coloro che affermano che la matematica è solo creazione della mente umana (ed è quindi inventata, non scoperta), inventarono la logica intuizionista, che nega la legge della doppia negazione, del terzo escluso e una delle leggi di De Morgan, che richiede l’utilizzo della doppia negazione per essere dimostrata.
Sono chiamate polivalenti le logiche che rifiutano di credere al principio del terzo escluso, e paraconsistenti quelle che ripudiano il principio di non contraddizione
In particolare vorrei soffermarmi su una logica in particolare.
In meccanica quantistica, si è osservato come un quanto può essere sia un’onda, che una particella: in poche parole, è due cose opposte allo stesso momento, è essere e non essere contemporaneamente.
La logica alla base di questa parte della fisica, detta pertanto logica quantistica, appartiene al gruppo delle paraconsistenti (viene tuttavia rispettato il principio del terzo escluso, dato che anche se sia A che non-A possono essere vere, comunque A o non-A rimane vero, per la nota ad inizio capitolo).
Penso che citare quest’ultima sia fondamentale per capire una cosa:
le logiche non classiche non sono solo delle inutili ipotesi intellettualoidi, ma possono rappresentare la vera natura della ragione universale.
Qual è quella corretta, quella più giusta?
Potremmo non saperlo mai.
PER CONCLUDERE: PERCHE’ NON È SCONTATO CHE 1+1 = 2?
È certo che se si usano sistemi assiomatici mirati a dimostrare questo fatto, come gli assiomi di Peano, 1+1=2 segue immediatamente da poche proposizioni.
Gli assiomi di Peano
Riguardo all’apparente assurdità detta da me all’inizio dell’articolo,
ossia 1+1=3, risulta appunto falsa nell’aritmetica di Peano, ma vera, come potreste ormai già intuire, in realtà astratte differenti:
-una potrebbe essere quella dove si mantengono le leggi di Peano, ma si modifica solo la definizione del successivo di 1, che adesso diventa 3;
-un’altra potrebbe contenere invece leggi totalmente diverse che governano sull’operatore addizione, rendendo in qualche modo vera, anche considerando i numeri naturali senza ridefinizioni, l’affermazione 1+1=3.
In poche parole, ho modificato solo il significato dell’affermazione, non ho scoperto nulla di nuovo e stupefacente.
Scusate se vi aspettavate qualche paradosso strano.
Non che non potrebbe esistere.
Tuttavia il discorso era fondamentale per far intendere che, anche solo per confutare una qualsiasi frase, anche la più semplice, si necessità del rigore donato dal ragionamento assiomatico.
Bisogna accordare con il proprio avversario in quale realtà è stata formulata l’affermazione in questione e quali definizioni sono state adottate.
Non sempre poi 1+1 = 2 è palese da dimostrare: nei tre volumi di Principia Mathematica, pubblicati nel 1910-12-13 da Alfred North Whitehead e Bertrand Russell, in cui si cercava di dimostrare in modo estremamente rigoroso le teorie fondamentali della matematica, quali le proprietà dei numeri cardinali, ordinali e reali, partendo da assiomi e logiche della teoria degli insiemi.
Era previsto anche un quarto volume sulla geometria, ma la stesura dei primi tre è stata mentalmente stancante a tal punto da far abbandonare agli autori il progetto: pensate che ci sono volute ben 379 pagine per giungere a “1+1 = 2”.
La prova è completata nel volume 2, accompagnata dalla frase “La proposizione soprastante è occasionalmente utile”.
Nel libro 3, si lascia inteso il sogno dei due matematici: creare una singola realtà in grado di dimostrare ogni frase, ogni teoria matematica.
Ma non potevano sapere di ciò che stava per essere scoperto, da un certo logico austriaco, appartenente ai migliori di ogni epoca, che stava per frantumare per sempre i pilastri di questo loro desiderio.
Continua…
IL PAVONE 
Lascia un commento